Lógica proposicional

por Software DELSOL

El Diccionario de la RAE define lógica como “ciencia que expone las leyes, modos y formas de las proposiciones en relación con su verdad o falsedad”. 

Algo que es lógico es coherente, bien estructurado.

La lógica nos permite saber si un pensamiento es correcto o incorrecto.

La lógica estudia el razonamiento humano

Podemos distinguir dos tipos de lógica:

  • La lógica aristotélica que estudia los conceptos, en especial los predicables y las categorías. Se ocupa del razonamiento: deductivo, categórico o de silogismos, como formas de conocimiento científico.
  • La lógica matemática o proposicional consiste en utilizar símbolos a través de tablas de verdad que nos indican lo verdadero o falso.

La proposición

El Diccionario RAE define proposición como “enunciación de una verdad demostrada o que se trata de demostrar”, su análisis es el fundamento de la lógica proposicional que, a través de este método de análisis, utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones.

La proposición sólo puede ser verdadera o falsa

Para que un enunciado que hacemos sea una proposición el único requisito es que podamos definirla como verdadera o falsa.

Por ejemplo son proposiciones: son las tres de la tarde, la luz está encendida, La Cibeles está en Madrid, 2+2=5, Caracas es la capital de Venezuela; en todos estos casos lo que se dice es verdadero o falso.

No serían proposiciones las preguntas como ¿a dónde vas? o ¿cómo estás?, u otras expresiones que no enuncian realidades verdaderas o falsas como buenos días o te deseo lo mejor.

A estas afirmaciones verdaderas o falsas las llamamos proposiciones simples y, para trabajar con ellas, las representamos con letras del alfabeto.

Proposiciones complejas

Una proposición compleja es la unión de dos o más proposiciones simples que están unidas por un conector lógico

Este conector lógico del que hablamos suele consistir en una palabra que las relaciona (vincula) como “y”, “además de”, “entonces”, etc.

Por ejemplo, si tenemos dos proposiciones simples como:

  • María es guapa.
  • María es lista.

Con ellas podremos formar una compleja que sería “María es guapa y lista”.

Tabla de verdad

Como hemos visto en una proposición simple solo hay dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.

Pero, en una proposición compuesta, hay dos o más proposiciones simples.

En este caso no hay sólo dos posibilidades: al haber dos proposiciones puede que las dos sean verdaderas, que las dos sean falsas, que una sea verdadera y la otra falsa o viceversa, por lo tanto habría cuatro posibilidades.

Si la proposición compleja contiene tres proposiciones simples el número de posibilidades es aún mayor.

Para calcular el número de posibilidades elevamos dos al número de proposiciones simples que participan que será el exponente.

Así, si tenemos dos proposiciones será dos al cuadrado (4), si son tres será dos al cubo (8), si son cuatro dos a la cuarta (16) y así sucesivamente.

Conectores lógicos

Como hemos dicho enlazan dos o más proposiciones simples, dependiendo de cómo realizan esta vinculación pueden ser:

  • Conjunción: la letra “y”, en este caso para que la proposición compuesta sea verdad las dos proposiciones simples deben ser verdaderas.
  • Disyunción débil la letra “o”, para que la proposición compuesta sea verdad una de las dos proposiciones será verdadera o las dos, la proposición compuesta sólo será falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas.
  • Disyunción fuerte con la combinación “o...o...” como en la frase “o comes carne o comes pescado”; en este caso para que la proposición compuesta sea verdadera una de las dos simples que la componen debe ser verdadera y la otra falsa, si las dos fueran verdaderas o las dos falsas la proposición compuesta sería falsa.
  • Condicional por la expresión “sí … entonces ...”: la primera proposición simple es el antecedente y el segundo consecuente. En este caso la proposición será verdadera salvo que la primera sea verdadera y la segunda falsa, en cuyo caso la compuesta será falsa.
  • Bicondicional por la expresión “sí y sólo sí”, como en la frase “el animal ladra sí y sólo sí es un perro”: en este caso la proposición compuesta es verdadera si las dos simples son, a la vez, verdaderas o las dos falsas, si una fuera verdadera y la otra falsa la compuesta sería falsa.
  • Negación puede ser con la expresión “no” o “no es cierto que”, para que la compuesta sea verdadera al menos una de las dos que la componen ha de ser falsa.

Tablas de verdad

Como vemos, para saber si una proposición compleja es verdadera o falsa necesitamos saber si las proposiciones simples que la componen son verdaderas o falsas.

Dependiendo del resultado final según la combinación de estas proposiciones simples la tabla de verdad de la compleja puede ser de tres tipos:

  • Tautológica cuando cualquier combinación de verdadero o falso de sus componentes da siempre como resultado que la proposición compleja es verdadera.
  • Contradictoria si cualquier combinación de verdadero o falso de los componentes da siempre como resultado que la proposición compleja es falsa.
  • Contingente cuando existen distintas posibilidades de resultados según la combinación de verdadero y falso de los componentes.
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