Varianza

por Software DELSOL

La Varianza es una medida de dispersión que se utiliza para representar la variabilidad de un conjunto de datos respecto de la media aritmética de los mismo. Así, se calcula como la suma de los residuos elevados al cuadrado y divididos entre el total de observaciones. No obstante, se trata de una medida que también puede calcularse como la desviación típica al cuadrado.

Fue Ronald Fisher, un matemático, físico, biólogo y estadístico de nacionalidad inglesa, quien, en el año 1918, introdujo el término de varianza en uno de sus estudios sobre biometría. Al mismo también, también fue el primero en introdujo los estudios sobre el análisis de esta medida de la dispersión.

¿PARA QUÉ SE USA LA VARIANZA?

Es una medida de dispersión ampliamente utilizada en los sectores de la economía y las finanzas, interpretándose como el riesgo de que el rendimiento de algún procedimiento en concreto sea distinto del rendimiento esperado de dicho procedimiento.

La varianza, junto con la desviación estándar -ambas medidas muy relacionadas entre sí- son las medidas de dispersión de datos por excelencia, sobre todo en el mundo de las finanzas.

CÓMO SE CALCULA LA VARIANZA

En primer lugar, es necesario indicar que la unidad de medida de la varianza es la misma unidad de medida de los datos utilizados para calcularla. Así, si los datos introducidos en la fórmula utilizan los metros como unidad de medida, la varianza se expresará también en metros. En cualquier caso, se ha de tener en cuenta que la varianza adquiere siempre valores iguales o mayores a 0, siendo matemáticamente imposible que adquiera valores inferiores a 0, pues los datos introducidos se elevan al cuadrado.

Vamos a ver la fórmula utilizada para calcular la varianza:

Var (X) = (x1 – x’)2 + (x2 – x’)2 + … + (xn – x’) / N

Donde:

  1. N representa el número total de observaciones o de datos utilizados para el cálculo de la varianza.
  2. x representa los datos utilizados para el cálculo de la varianza.
  3. x’ representa la media aritmética calculada con los datos utilizados para el cálculo de la varianza.

¿EN QUÉ SE DIFERENCIA LA VARIANZA DE LA DESVIACIÓN TÍPICA?

Si la varianza es la desviación típica al cuadrado, entonces ¿en qué se diferencian ambas medidas? Es una duda de lo más normal. A continuación, intentaremos explicar sus diferencias.

Lo cierto es que ambas medidas miden lo mismo. No obstante, la desviación típica es una medida que se utiliza para poder trabajar con unidades de medida iniciales, mientras que la varianza, aunque a priori nos pueda parecer un cálculo innecesario, se calcula para poder obtener otros parámetros. Es el caso de la covarianza, para cuyo cálculo se necesita haber calculado anteriormente la varianza y no la desviación típica. Además, el cálculo de la varianza es necesario para calcular algunas matrices econométricas, en cuyo cálculo no se puede utilizar la deviación típica. Así, la varianza es una medida que se utiliza para poder calcular otros parámetros y que aporta mayor comodidad a la hora de trabajar con ciertos datos en según qué cálculos.

EJEMPLO DE CÓMO SE CALCULA LA VARIANZA

A continuación, para despejar cualquier duda que pudiera surgir sobre el cálculo de la varianza, vamos a explicar un ejemplo sencillo sobre su cálculo. Vamos a verlo.

Supongamos que tenemos 5 personas diferentes con distintos sueldos:

  • Santiago: 1.500 euros.
  • Miguel: 1.200 euros.
  • Sara: 1.700 euros.
  • Laura: 1.300 euros.
  • María: 1.800 euros.

En primer lugar, debemos calcular la media aritmética de todos estos datos. Vamos a ello:

(1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) / 5 = 1.500 euros

Una vez calculada la media aritmética, hemos de aplicar la fórmula de la varianza. Vamos a ello:

Var (X) = (1500 – 1500)2 + (1200 – 1500)2 + (1700 – 1500)2 + (1300 – 1500)2 + (1800 – 1500)2 / 5

Una vez desarrollada la ecuación, el resultado es de 52.000 euros al cuadrado. Debemos recordar que, al calcular la varianza, obtenemos la unidad de medida de los datos utilizados elevada al cuadrado. Así, para pasar este resultado a euros, tendríamos que realizar el cálculo de la desviación típica, la cual, en este caso, adquiere un valor de 228 euros. ¿Qué quiere decir este resultado? Este resultado se debe interpretar como que, de media, la diferencia entre los salarios de las 5 personas cuyos salarios se han utilizado para calcular la varianza es de 228 euros.

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

La varianza tiene una serie de propiedades. Son las siguientes:

  1. Siempre adquiere un valor positivo o igual a 0. Cuando el resultado es igual a 0 significa que las puntuaciones son todas iguales.
  2. Cuando tenemos varias distribuciones con la misma media aritmética y tenemos el dato de sus respectivas varianzas es posible calcular la varianza total.
  3. Cuando todos los valores de la variable se multiplican por un número cualquier, la varianza quedará multiplicada por el cuadrado de ese mismo número.
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